Grupos, Anillos y Cuerpos

A lo largo de la formación matemática elemental (durante la niñez y la adolescencia) los profesores suelen tomar como axiomas irrefutables ciertas propiedades que no son para nada triviales.

Por ejemplo, cualquier número multiplicado por 0 es 0.

Esta serie de afirmaciones hace dudar a los más inquietos y preguntarse "¿por qué?"

En la mayoría de los casos estas preguntas quedan largo tiempo, si no para siempre irresolutas, dado que únicamente se ofrece una explicación real de estas al entrar a cursar estudios superiores de esta materia.

Pues bien, para todos aquellos curiosos que quieran echar un ojo a esas antiguas preguntas, adjunto un documento (más extenso de lo habitual) en el que se deducen rigurosamente a partir de ciertos axiomas todas estas propiedades.

Además este documento pretende servir de ayuda y a la vez de advertencia a todos aquellos que estén pensando en emprender la aventura de adentrarse en los entresijos de la ciencia exacta.

DOCUMENTO

Documento basado en las notas tomadas de E. Aguirre (Álgebra Lineal) y A. Rodríguez (Análisis de Variable Real)

Hierón y Arquímedes

Usualmente se suele escuchar que las matemáticas carecen de utilidad en la vida corriente, incluso que no sirven para nada. Estas afirmaciones (aparte de infundadas) hieren en cierto sentido la sensibilidad de cualquier aficionado a las matemáticas que se precie.

Como veremos en el documento que adjuntaré al final de esta entrada, las matemáticas, y más concretamente una de sus ramas (el Álgebra Lineal), desde mucho antes de que Julio Cesar se planteara invadir las Galias, han resuelto todo tipo de problemas importantes, como pueden ser los timos.

Es este el caso del tirano Hierón de Sicacusa, que le engargó una corona de oro en honor a Júpiter a un orfebre, pagandole el tirano los materiales. Hierón, que con razón desconfiaba del artesano, tenía la suerte de contar en su séquito con un genio de la talla de Arquímedes, que fue capaz, sin dañar la corona de demostrar cómo los materiales de esta habían sido adulterados para que el timador se embolsase un margen de beneficio considerable.

En el documento adjuntado se expone una demostración algebraica de este hecho, sin embargo hay que entender que en los tiempos de Arquímedes el Álgebra no existía y se calculaba todo con líneas, círculos y piedras. Lo que otorga si cabe más mérito a la resolución de este problema.

Las herramientas que se usan en el documento (principio de Arquímedes aprate) para resolver el problema pueden justificarse con la teoría de cualquier libro de Bachillerato, y si se quiere ser riguroso, se puede recurrir a un manual de Álgebra Lineal o a internet.

DOCUMENTO
Problema Original obtenido de: Álgebra Lineal (Material Complementario) E. Aguirre

Principio de los Intervalos Cerrados y Encajados de Cantor

Dentro de la disciplina del Cálculo Infinitesimal usualmente suele pasar desapercibido un teorema muy interesante, intuitivo y útil para demostrar propiedades métricas de los Números Reales (por ejemplo que son un espacio métrico completo). Se trata del Principio de los Intervalos Cerrados y Encajados de Cantor. Dejo como siempre AQUÍ un archivo con el enunciado y demostración del teorema. Antes de incarle el diente a la demostración es indispensable tener claro el Axioma de Supremo de los números reales y sus propiedades, que se pueden consultar en multitud de sitios de internet y libros.
Metiéndonos un poco en harina el teorema dice que si tenemos un conjuntos de intervalos encajados como el que muestra la imagen, la intersección de todos ellos existe (no es vacía) y está formada por el "mayor" (supremo) de los extremos izquierdos y el "menor" (ínfimo) de los extremos derechos.

Imágen tomada del blog https://matematics.wordpress.com

Existencia de Raíces en R

Desde la educación primaria todo el mundo sabe lo que es un raíz cuadrada, incluso una raíz cúbica, todos tenemos también en nuestra cabeza una fuerte intuición acerca de lo que son los números reales y su representación geométrica más conocida (una recta). Pero estoy seguro de que nunca les ha acechado la pregunta ¿Existen realmente las raíces cuadradas (más aún, las raíces n-ésimas) en los números reales?
En el documento que AQUÍ se adjunta se demuestra con todo rigor la existencia y en su caso unicidad de las mismas en los números reales positivos.
Para poder seguir con fluidez la demostración es muy recomendable tener frescas ciertas nociones como las propiedades básicas del factorial y los sumatorios, así como el axioma de supremo en los números reales. Todas estos estos conceptos pueden repasarse (o en su caso, familiarizarse con ellas desde cero) rápidamente buscando en cualquier página dedicada a las matemáticas, no obstante trataré de elaborar un documento con las mismas en cuanto me sea posible (y tenga ganas para ello).

Es posible que haya erratas, en tal caso se agradecerá mucho la colaboración para eliminarlas.